Componente deterministica e componente stocastica

Rosario Galletti - 15/10/2007 12.59.00

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Tante e tante volte ci si aggroviglia la mente nella creazione di modelli e modellini di svariatissima natura e specie: si implica la matematica, si coinvolge la statistica e ci si approccia all'econometria. Il tutto per pervenire ai cosiddetti trading system ormai notissimi all'ambiente finanziario; sono tanti e tanti gli operatori accomunati da questo approccio, ma sempre più spesso non si chiedono se tutto ciò abbia un senso, se vi sono i presupposti empirici affinché tutto funzioni. Questo articolo non ha la presunzione di invalidare o meno tali approcci, ma è da intendere come una rassegna di verifiche statistiche. Il presupposto fondamentale all'uso dei trading system visto sotto l'ottica statistica equivale a chiedersi se i movimenti del mercato siano governati da una qualche legge deterministica o se a dominare sia la componente stocastica.

Vi sono diversi test statistici volti alla verifica di autocorrelazione della serie. Alcuni di questi in realtà nascono per diagnosticare la corretta specificazione di un modello ARMA(p,q) venendo applicati ai residui di stima; ma possono essere applicati in un contesto più ampio quale la verifica di autocorrelazione di una generale serie. Il primo test è quello di Box-Pierce per cui l' idea di fondo per verificare se la serie  (i rendimenti azionari) presenta una struttura lineare in termini di autocorrelazione; la statistica test di Box-Pierce è la seguente sotto l' ipotesi nulla Ho di assenza di autocorrelazione dei residui

 

 

dove n è la dimensione campionaria e r_i è l'indice di correlazione i-esimo. In realtà questo test è valido per grandi campioni; gli autori Ljung-Box propongono un' altra versione dello stesso test valido anche per piccoli campioni

 

 

La logica di entrambe le statistiche è la seguente: la sommatoria è una quantità sempre positiva (per costruzione in quanto somma di quantità positive) e tanto più coefficienti r_i significativi vi sono tanto più la statistica si allontanerà a zero. Opportunamente standardizzata come sopra la statistica test si approssima ad una distribuzione  per cui, fissato un livello di significatività, siamo disposti ad accettare l'ipotesi nulla per un valore della statistica compreso tra zero e il valore critico corrispondente alla distribuzione . Tra gli altri test statistici che lavorano sullo stesso intendo ricordiamo il test di Granger  e Newbold, il test di McLeod e Li ed il test Variance Ratio test dai lavori di A. Lo e MacKinlay. In particolare quest'ultimo, sotto ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione, considera il rapporto tra la varianza di due rendimenti tra il tempo (t ; t-1) ed il doppio della varianza del rendimento al tempo t:

 

 

dove il 2 in parentesi a VR indica la lunghezza temporale su cui viene calcolato il  numeratore. In generale vale