Componente deterministica e componente stocastica

La statistica VR(s) è quindi definita come una combinazione lineare delle prime s-1 autocorrelazioni con ponderazione linearmente decrescente, e qualora la struttura dei rendimenti è non lineare la statistica è pari all' unità. In realtà la distribuzione della statistica test risulta diversa a seconda che si voglia vagliare l'ipotesi i.i.d. o di semplice in correlazione, nonché qualora si presentino alcune particolari caratteristiche nella distribuzione della serie oggetto d'esame (nel nostro caso i rendimenti azionari) quale l'eteroschedasticità. Gli stessi autori propongono una versione diversa del tradizionale VR(s) di ordine s: un  test che incorpora un' ipotesi nulla composta che prevede, oltre l'ipotesi di assenza di una struttura probabilistica autocorrelata, anche restrizioni più complesse che limitano gli inconvenienti esposti sopra. La statistica è la seguente:

dove risulta

con   La statistica si distribuisce come una normale standard N(0;1). Mentre i test appena visti sono volti ad individuare l'assenza di una struttura lineare che governi  l'andamento dei rendimenti finanziari, un altro tipo di analisi può volgere invece a cercare la presenza di una qualche struttura non lineare. A tal fine può essere utile un particolare metodologia statistica detta analisi R/S (Rescaled Range Analysis): l'analisi è particolarmente vantaggiosa in quanto permette di distinguere se una serie segue un processo casuale o deterministico anche senza che la serie sia distribuita normalmente.

L'idea di fondo è che se una serie segue un processo random walk ci si dovrebbe attendere che la sua varianza (misurata in termini di range di variazione) dipenda dal tempo (d'altro canto come visto sopra quando abbiamo trattato i processi random walk). Considerando una serie   si realizzi una partizione di n nel modo seguente    (cioè ogni insieme A_k contiene dal primo al k-simo termine della serie); di ogni A_k se ne calcola la media m_k e si calcola la deviazione cumulata

di questa se ne calcola il range di variazione nel modo seguente

   e si standardizza questa misura per la deviazione standard del periodo:

ottenendo così la statistica

Il procedimento viene fatto per diversi valori di k ottenendo così la serie

Hurst trovò che esiste la relazione lineare