Ottimizzazione di portafoglio: il modello di markowitz ed approcci alternativi

Rosario Galletti - 25/09/2007 8.30.00

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Rosario Galletti ha fondato, dopo la laurea in statistica, una società di software (www.colsage.com) specializzata nell'applicazione di modelli quantitativi all'analisi finanziaria, inizia questa settimana a collaborare con Top Trader Magazine, enjoy ! 

 

 

Nell'analisi finanziaria quantitativa usualmente possono delinearsi tre grandi fasi: (1) lo screening dei titoli da inserire in portafoglio, (2) la determinazione delle loro quote e  (3) l'implementazione di strategie di money-risk management...ciò di cui in questo articolo, che spero divieni presto un appuntamento fisso, voglio trattare è la seconda fase, ovvero quella che si definisce come "ottimizzazione di portafoglio".  Per una gestione seriamente professionale ci si rifà spesso ad una delle soluzioni ottimali proposte dall'adottatissimo modello accademico di Markowitz, di cui però spesso non se ne conoscono (o se ne accettano i compromessi, il che è ancora peggio!!!) gli "intimi" limiti applicativi che questo comporta. Cominciamo però dall'inizio (mi scuso con chi ha poca confidenza con la matematica!): detti x₁,x₂,...,x_n i lotti da inserire in portafoglio rispettivamente dei titoli 1,2,...,n si pone la questione di ottimizzare le suddette quote in funzione del rapporto rischio-rendimento che se ne attribuisce a tutto il portafoglio a seconda delle possibili combinazioni di quote fattibili dato un certo capitale. Per misurare il rendimento si stima il rendimento medio (nomencliamo: r_i indica il rendimento medio del titolo i-esimo e R_p indica il rendimento medio di portafoglio) e per misurare il rischio si stima la varianza (anche questa adozione è concettualmente distorta, ne parleremo nel prossimo articolo!). Di seguito Var_i indica la varianza del titolo i-esimo mentre V_p quella di portafoglio.

Praticamente per costruire il modello ci si rifà alla teoria delle variabili aleatorie multivariate: si assume che la variabile aleatoria "portafoglio" P sia una combinazione lineare delle altrettanti variabili aleatorie "titoli", per cui le grandezze che lo caratterizzano (rendimento e varianza,appunto) possono ancora esprimersi come combinazione lineare delle stesse grandezze dei singoli titoli. Cioè dal punto di vista matematico:

 

R_p =x_1*r₁ x_2*r₂ ... x_n*r_n

 

In pratica il rendimento medio del portafoglio è calcolato con i rendimenti medi dei singoli titoli ponderati alla loro quota...il discorso dal punto di vista analitico si complica quando estendiamo questo ragionamento anche alla varianza di portafoglio, infatti:

 

V_p=Cov(i;j)_*x_i*x_j Var_i*x_i²

 

Dove Cov(i;j) esprime la covarianza esistente tra i titoli i e j: in pratica la misurazione della relazione (diretta o inversa) di movimento direzionale dei due titoli: questo è il cuore del modello. L'idea di fondo è quella di inserire quelle quote di titoli in modo tale che la covarianza possa immunizzare il portafoglio.

Come si ottiene la soluzione, ovvero la composizione ottimale di portafoglio??? Per rispondere bisogna definire che cosa s'intende "ottimale". Ottimizzare una qualche grandezza (detta obiettivo) vuol dire determinare i valori di quelle grandezze che influenzano l'obiettivo e che la rendano massima o minima nel suo valore. La grandezza obiettivo per noi è il rapporto tra rendimento e rischio del portafoglio e questa grandezza ovviamente vogliamo che sia massima (in pratica: alto rendimento medio e basso rischio!!!). Se ci fate caso per noi le variabili che influenzano questa grandezza su cui possiamo lavorare sono appunto le quote dei titoli da inserire in portafoglio: al variare di queste variano sia il rendimento medio che la varianza di portafoglio. A livello analitico esistono degli algoritmi numerici (e qui sconfineremmo nell'affascinante mondo dell'analisi numerica) che permettono appunto di rendere massima la funzione obiettivo (sotto il vincolo del capitale) e darci come valori di ritorno le quote dei singoli titoli da inserire in portafoglio. La soluzione non è univoca: tutti quei portafogli che hanno il valore massimo della funzione obiettivo vanno a costituire quella che si definisce "frontiera efficiente" che vi riporto graficamente

 

 

 

Di questi se ne individua uno in base al proprio profilo. Cosa c'è che non va in tutto il ragionamento? Semplicemente che non funziona! Il perché o meglio se ed entro quali limiti tale modello possa funzionare o meno è stata materia di decennale discussione accademica. Il motivo di fondo sta comunque nel forte discostamento che esiste tra le premesse fatte al modello e l'assenza quasi totale di queste nella realtà. Per ogni modello matematico volto alla "modellizazione" e simulazione di funzionamento dei sistemi (siano essi fisici come le previsioni del tempo, meccanici come la torsione di una molla, oppure sociali come la Borsa) esistono per costruzione delle ipotesi di base che diamo per scontate affinché lo stesso modello sia aderente alla realtà. Questa adesione viene meno tanto più sono assenti dalla realtà tali premesse; nel modello di Markowitz, la chiave di volta di tutta la sua validità è insita nella formula di computo della varianza (rischio) di portafoglio: abbiamo usato la stima della covarianza e questo non è applicabile alla realtà per due ordini di motivi:

 

• - la correlazione esprime una misura di relazione degli andamenti in termini esclusivamente lineari (graficamente una retta) quando i mercati (come del resto tutta la realtà, spero di poter parlare anche di questo: caos e frattali) sono caratterizzati da componenti non lineari (graficamente una curva) e che dunque non vengono colte

 

• - L'impiego della covarianza concentra l' attenzione sulle distribuzioni di probabilità congiunta di n attività finanziarie, ma la derivazione di questa è assai complessa: vi sono forti limiti per la distribuzione di probabilità della normale multivariata, e nemmeno è ipotizzabile un' impiego ai fini pratici-operativi della multivariata t-Student la quale impone che tutte le distribuzioni marginali abbiano lo stesso numero di gradi di libertà (il che equivale a dire che presentano tutte la stessa curtosi). In pratica si assume che ogni singolo titolo goda di una distribuzione di probabilità normale (la classica "curva a campana") mentre in realtà non lo sono, manifestando le cosiddette "code grasse", in pratica la rilevazione empirico-statistico di rendimenti azionari presentano le code della loro distribuzione leggermente più spesse rispetto a quella che avrebbe una normale a parità di media e varianza; del resto l'applicazione di appositi test statistici (Durbin-Watson) per la verifica di ipotesi di normalità di una distribuzione negano l'ipotesi nulla di distribuzione normale per la quasi totalità dei titoli.

 

Insomma le ipotesi sono divenute grossolane approssimazioni della realtà, per non contare poi l'onere computazionale molto pesante a livello macchina poiché bisogna stimare tutta la matrice delle covarianze. Smontate le basi del modello di Markowitz, vogliamo seguire un percorso non solo "distruttivo" ma anche "propositivo", nasce la necessità operativa di ovviare ad un metodo di determinazione delle quote da inserire in portafoglio: l'idea che propongo alla fin fine è assai banale ma secondo me risulta pratica, intelligente e soprattutto perfettamente aderente alla realtà: a livello cognitivo delle tre tappe decisionali individuate bisogna invertirne l'ordine: (1) lo screening dei titoli da inserire in portafoglio, (2) l'implementazione di strategie di money-risk management e (3) la determinazione delle loro quote. Supponendo di aver eseguito lo screening (magari più in la ci occuperemo anche di questo) per ogni titolo si dovrebbe determinare quello che possiamo definire d'ora in poi "analisi contestuale".