Ottimizzazione di portafoglio: il modello di markowitz ed approcci alternativi

Rosario Galletti - 25/09/2007 8.30.00

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Di questi se ne individua uno in base al proprio profilo. Cosa c'è che non va in tutto il ragionamento? Semplicemente che non funziona! Il perché o meglio se ed entro quali limiti tale modello possa funzionare o meno è stata materia di decennale discussione accademica. Il motivo di fondo sta comunque nel forte discostamento che esiste tra le premesse fatte al modello e l'assenza quasi totale di queste nella realtà. Per ogni modello matematico volto alla "modellizazione" e simulazione di funzionamento dei sistemi (siano essi fisici come le previsioni del tempo, meccanici come la torsione di una molla, oppure sociali come la Borsa) esistono per costruzione delle ipotesi di base che diamo per scontate affinché lo stesso modello sia aderente alla realtà. Questa adesione viene meno tanto più sono assenti dalla realtà tali premesse; nel modello di Markowitz, la chiave di volta di tutta la sua validità è insita nella formula di computo della varianza (rischio) di portafoglio: abbiamo usato la stima della covarianza e questo non è applicabile alla realtà per due ordini di motivi:

 

• - la correlazione esprime una misura di relazione degli andamenti in termini esclusivamente lineari (graficamente una retta) quando i mercati (come del resto tutta la realtà, spero di poter parlare anche di questo: caos e frattali) sono caratterizzati da componenti non lineari (graficamente una curva) e che dunque non vengono colte

 

• - L'impiego della covarianza concentra l' attenzione sulle distribuzioni di probabilità congiunta di n attività finanziarie, ma la derivazione di questa è assai complessa: vi sono forti limiti per la distribuzione di probabilità della normale multivariata, e nemmeno è ipotizzabile un' impiego ai fini pratici-operativi della multivariata t-Student la quale impone che tutte le distribuzioni marginali abbiano lo stesso numero di gradi di libertà (il che equivale a dire che presentano tutte la stessa curtosi). In pratica si assume che ogni singolo titolo goda di una distribuzione di probabilità normale (la classica "curva a campana") mentre in realtà non lo sono, manifestando le cosiddette "code grasse", in pratica la rilevazione empirico-statistico di rendimenti azionari presentano le code della loro distribuzione leggermente più spesse rispetto a quella che avrebbe una normale a parità di media e varianza; del resto l'applicazione di appositi test statistici (Durbin-Watson) per la verifica di ipotesi di normalità di una distribuzione negano l'ipotesi nulla di distribuzione normale per la quasi totalità dei titoli.

 

Insomma le ipotesi sono divenute grossolane approssimazioni della realtà, per non contare poi l'onere computazionale molto pesante a livello macchina poiché bisogna stimare tutta la matrice delle covarianze. Smontate le basi del modello di Markowitz, vogliamo seguire un percorso non solo "distruttivo" ma anche "propositivo", nasce la necessità operativa di ovviare ad un metodo di determinazione delle quote da inserire in portafoglio: l'idea che propongo alla fin fine è assai banale ma secondo me risulta pratica, intelligente e soprattutto perfettamente aderente alla realtà: a livello cognitivo delle tre tappe decisionali individuate bisogna invertirne l'ordine: (1) lo screening dei titoli da inserire in portafoglio, (2) l'implementazione di strategie di money-risk management e (3) la determinazione delle loro quote. Supponendo di aver eseguito lo screening (magari più in la ci occuperemo anche di questo) per ogni titolo si dovrebbe determinare quello che possiamo definire d'ora in poi "analisi contestuale". In pratica dovremmo essere in grado di determinare due possibili scenari che si possono presentare: uno di successo e uno d'insuccesso (per ogni titoli fissiamo un target a rialzo ed uno a ribasso, quelli che si chiamano take profit e stop loss) ed inoltre attribuire delle probabilità con cui si possono verificare: definiamo la grandezza EVa e la calcoliamo nel modo seguente

 

EVa=p_0*TP_i (1-p₀)_*SL_i  oppure la sua variante Eva=p_0*TP_i/(1-p₀)_*SL_i 

 

Dove p₀ è la probabilità attribuita allo scenario rialzista, TP_i e SL_ì sono rispettivamente il take profit e lo stop loss del titolo i-esimo...fin qui penso non ci siano grosse difficoltà. Estendendo il concetto posso avere per il portafoglio

 

 

R_p =x_1*EVa₁ x_2*Eva₂ ... x_n*Eva_n

 

Dove x₁,x₂,...,x_n hanno ancora lo stesso significato. In pratica diventa questa la mia funzione obiettivo che io intendo massimizzare: in questo approccio l'idea di fondo invece è data dal fatto che in portafoglio le quote maggiori saranno date da quei titoli che presentano il maggiore EVa, ed il segreto è tutto qui: se osservate bene la sua costruzione questa non è altro che la misurazione del "compromesso" rischio-opprtunità su un titolo ponderato alla probabilità che ciò possa accadere. Tutto qui, ma la grande differenza rispetto al modello precedente e che non mi servono forti ipotesi. Certo dovremo essere bravi a definire dei target e dei livelli di probabilità "ragionevoli", ma anche per questo la statistica ed il calcolo delle probabilità ci danno una mano. Magari un'altra volta vi riporto un'estensione di questo modello basato sul concetto di utilità (vi do una "pillola": non sempre al più alto EVa corrisponde una maggiore utilità), ma penso che come primo appuntamento possa bastare, alla prossima.